期權(quán)的平價(jià)公式（PUT-CALL PARITY）以及無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利
發(fā)布時(shí)間：2020-09-22 16:11:19
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歐式期權(quán)PCP平價(jià)公式（假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)不付紅利）
首先定義如下符號(hào)以方便描述：S為標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)；X為期權(quán)行權(quán)價(jià)格；T為期權(quán)的到期時(shí)間；t為當(dāng)前時(shí)間；r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（連續(xù)復(fù)利）；C為看漲期權(quán)的價(jià)值；P為看跌期權(quán)的價(jià)值。
組合1： 看漲期權(quán)C+現(xiàn)金（行權(quán)價(jià)格的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)值）
組合2： 看跌期權(quán)P+標(biāo)的資產(chǎn)
在T時(shí)刻，組合A的價(jià)值：若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權(quán)的價(jià)值S－X加上現(xiàn)金資產(chǎn)X,即S－X +X=S；若在T時(shí)刻股票價(jià)格S＜X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權(quán)的價(jià)值0 加上現(xiàn)金資產(chǎn)X，即0+X=X。
在T時(shí)刻，組合B的價(jià)值：若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權(quán)的價(jià)值0 加上股票價(jià)值S，即0+S = S。若在T時(shí)刻股票價(jià)格S＜X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權(quán)的價(jià)值X-S加上股票價(jià)值S，即X-S+S=X。
A、B兩個(gè)組合價(jià)值
綜上所述，在到期日T時(shí)刻，無(wú)論股票價(jià)格如何變動(dòng)，組合A的價(jià)值總是等于組合B的價(jià)值。由此可得，組合A與組合B在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值也應(yīng)該相同，否則存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。因此，具有同樣行權(quán)價(jià)格和到期日的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)當(dāng)前理論價(jià)格滿足以下的關(guān)系。
C+Ke^(-rT)=P+S
套利是指利用兩種或更多產(chǎn)品價(jià)格之間的不合理關(guān)系而獲取確定性盈利的交易方式。當(dāng)期權(quán)的交易價(jià)格明顯偏離其理論定價(jià)時(shí)，就出現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。下面主要從期權(quán)價(jià)格的上下限方面來(lái)討論錯(cuò)誤定價(jià)帶來(lái)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。
看漲期權(quán)的持有者有權(quán)以某一確定的價(jià)格購(gòu)買約定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)。在任何情況下，期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過(guò)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值。因此，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權(quán)的價(jià)格上限：C≤S 。如果實(shí)際情況違反了這一關(guān)系，則套利者通過(guò)購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)并賣出看漲期權(quán)，可獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。
看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以X的價(jià)格出售約定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)。無(wú)論標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變得多么低，期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過(guò)X。因此，行權(quán)時(shí)看跌期權(quán)的價(jià)格上限：P≤X。
對(duì)于歐式看跌期權(quán)，由于T時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值不會(huì)超過(guò)X，因此可以將其價(jià)格上限進(jìn)一步確定為：P≤Xe-rt，即歐式看跌期權(quán)的價(jià)格不會(huì)超過(guò)其行權(quán)價(jià)格X的現(xiàn)值。如果不存在這一關(guān)系，則套利者可以出售期權(quán)并將所有收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利。
首先定義如下符號(hào)以方便描述：S為標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)；X為期權(quán)行權(quán)價(jià)格；T為期權(quán)的到期時(shí)間；t為當(dāng)前時(shí)間；r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（連續(xù)復(fù)利）；C為看漲期權(quán)的價(jià)值；P為看跌期權(quán)的價(jià)值。
組合1： 看漲期權(quán)C+現(xiàn)金（行權(quán)價(jià)格的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)值）
組合2： 看跌期權(quán)P+標(biāo)的資產(chǎn)
在T時(shí)刻，組合A的價(jià)值：若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權(quán)的價(jià)值S－X加上現(xiàn)金資產(chǎn)X,即S－X +X=S；若在T時(shí)刻股票價(jià)格S＜X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權(quán)的價(jià)值0 加上現(xiàn)金資產(chǎn)X，即0+X=X。
在T時(shí)刻，組合B的價(jià)值：若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權(quán)的價(jià)值0 加上股票價(jià)值S，即0+S = S。若在T時(shí)刻股票價(jià)格S＜X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權(quán)的價(jià)值X-S加上股票價(jià)值S，即X-S+S=X。
A、B兩個(gè)組合價(jià)值
S≥X S＜X
組合A Call在T時(shí)刻的價(jià)值 S－X 0
現(xiàn)金在T時(shí)刻的價(jià)值 X X
組合A在T時(shí)刻總價(jià)值 S X
組合B Put在T時(shí)刻的價(jià)值 0 X-S
股票在T時(shí)刻的價(jià)值 S S
組合B在T時(shí)刻總價(jià)值 S X
綜上所述，在到期日T時(shí)刻，無(wú)論股票價(jià)格如何變動(dòng)，組合A的價(jià)值總是等于組合B的價(jià)值。由此可得，組合A與組合B在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值也應(yīng)該相同，否則存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。因此，具有同樣行權(quán)價(jià)格和到期日的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)當(dāng)前理論價(jià)格滿足以下的關(guān)系。
C+Ke^(-rT)=P+S
套利是指利用兩種或更多產(chǎn)品價(jià)格之間的不合理關(guān)系而獲取確定性盈利的交易方式。當(dāng)期權(quán)的交易價(jià)格明顯偏離其理論定價(jià)時(shí)，就出現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。下面主要從期權(quán)價(jià)格的上下限方面來(lái)討論錯(cuò)誤定價(jià)帶來(lái)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。
看漲期權(quán)的持有者有權(quán)以某一確定的價(jià)格購(gòu)買約定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)。在任何情況下，期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過(guò)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值。因此，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權(quán)的價(jià)格上限：C≤S 。如果實(shí)際情況違反了這一關(guān)系，則套利者通過(guò)購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)并賣出看漲期權(quán)，可獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。
看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以X的價(jià)格出售約定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)。無(wú)論標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變得多么低，期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過(guò)X。因此，行權(quán)時(shí)看跌期權(quán)的價(jià)格上限：P≤X。
對(duì)于歐式看跌期權(quán)，由于T時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值不會(huì)超過(guò)X，因此可以將其價(jià)格上限進(jìn)一步確定為：P≤Xe-rt，即歐式看跌期權(quán)的價(jià)格不會(huì)超過(guò)其行權(quán)價(jià)格X的現(xiàn)值。如果不存在這一關(guān)系，則套利者可以出售期權(quán)并將所有收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利。
